Mathe-Abi-Paper
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Hier könnt ihr die meine aktuelle Abi-Vorbereitung bestaunen.
Diese Seite ist analog zum Erdkunde-Abi-Paper entstanden.
Zu der Rätselecke gehts hier entlang.
*** Update: Teu, teu, teu allen Leologen! ***
Und wer Langeweile hat, für den hab ich noch was: Wie groß ist der Abstand zweier gleichgroßer Kreise, so dass die vereinigte Menge genau doppelt so groß ist wie die Schnittmenge? Ist auf einer Seite zu lösen! Wer Probleme mit dem Integral hat, der kann sich ja melden...
Inhaltsverzeichniss |
1. Der Leologische Formalismus
1.1. Extrempunkte
1.1.1. Mit notwendiger und hinreichender Bedingung
1.1.2. Mit dem VZW-Kriterium
2. Mathematische Gesetze und Regeln
2.1. Ableitungsregeln
2.1.1. Ableitung einer Summe
2.1.2. Ableitung eines Produktes
2.1.3. Ableitung eines Quotienten
2.1.4. Ableitung einer Verkettung
2.1.5. Ableitung von Sinus-Termen
2.1.6. Ableitung von e-Funktionen
2.2. Integralregeln
2.2.0. allgemeines
2.2.1. Linearität
2.2.2. Produktintegration / partielle Integration
2.2.3. Substitutuion
2.3. Kegelschnitte
2.3.1. Definitionen
2.3.2. Gleichungen
2.4. Kurvendiskussion
2.4.1. Stetigkeit
2.4.2. Krümmungsverhalten
D9 (aus der 13.1) AB1 (Kugel & Ebene) AB1' (Kugel & Ebene) AB2 (Kugelschar) AB3 (Kugelschar) AB3' (Kugel & Kugelschar) AB4 (e-Funktion) AB5 (e-Funktion) AB6 (gebrochen rationale Funktion) AB6' (gebrochen rationale Funktion) AB7 (Ellipse) AB8 (Kegel & Paraboloid) AB9 (Parabel) AB10 (Parabel)
4. Der Blick in die Zukunft ...
1. Der Leologische Formalismus |
1.1. Extrempunkte
1.1.1. Mit notwendiger und hinreichender Bedingung:
notwendige Bedingung: f'(x) = 0
f'(x) = 0
Û .. = 0
Û .. = ...
Û x = ?
xm := ?
hinreichende Bedingung: f'(x) = 0 & f''(x) ¹ 0
f''(x) = ...
Û .... = .... < 0
also liegt an der Stelle xm = ? eine Maximumsstelle vor.
f(xm) = ?ym ist das entsprechende lokale Maximum
H(xm;?ym) ist der entsprechende Hochpunkt
(Leo´s Lieblingsspruch zur notwendigen Bedingung: "Wenn es regnet, dann wird die Straße naß. Aber umgekehrt, wenn die Straße naß ist, dann muß es nicht unbedingt geregnet haben. Dazu braucht man dann eine hinreichende Bedingung ...)
1.1.2. Mit dem VZW-Kriterium
mit dem VZW:
f'(x) ³£ 0
x ³£ ?
x1 := ?
(Zeichnung ...)
f'(x) macht an der Stelle x1 einen VZW von + nach minus, also ist x1 die lokale Maximumstelle.
2. Mathematische Gesetze und Regeln |
2.1. Ableitungsregeln
2.1.1. Ableitung einer Summe
(f ± g)' = f' ± g';
Konstante Faktoren bleiben erhalten
2.1.2. Ableitung eines Produktes
(fg)' = f'g + fg';
2.1.3. Ableitung eines Quotienten
(f/g)' = (f'g - fg') / g²
2.1.4. Ableitung einer Verkettung
(fog)' = f(x)' * g(x)' = (f(g(x))'
2.1.5. Ableitung von Sinus-Termen
f (x) = sin(x)
f'(x) = cos(x)
f"(x) = -sin(x)
g (x) = tan (x)
g'(x) = 1/cos²(x) = tan²(x)+1
2.1.6. Ableitung von e-Funktionen
f (x) = e^x
f'(x) = e^x
g (x) = e^2x
g'(x) = 2 e^2x
g"(x) = 4 e^2x
2.2. Integralregeln
2.2.0. allgemeines
aòb f(x) dx = Integral in den Grenzen von a bis b
aòb f(x) dx = - bòa f(x) dx
aòc f(x) dx + còb f(x) dx = aòb f(x) dx
Definition: aòb f(x) dx = [F(x)]a,b
2.2.1. Linearität
Konstante Faktoren können vor das Integral gezogen werden
aòb (f(x) ± g(x)) dx = aòb f(x) dx ± aòb g(x) dx
2.2.2. Produktintegration / partielle Integration
aòb (u'v) dx = [uv]a,b - aòb (uv') dx ->=>º>
aòb (f(x)'*g(x)) dx = [f(x)*g(x)]a,b - aòb (f(x)*g(x)') dx
2.2.3. Substitution
aòb f(g(z))*g'(z) dz = g(a)òg(b) f(x) dx
mit x = g(z), g'(z) = dx/dz
2.3. Kegelschnitte
2.3.1. Definitionen
Ellipse:
Die Ellipse ist die geometrische Ortslinie aller Punkte der Ebene, für welche die Summe der Entfernungen von 2 festen Punkten konstant ist.
Hyperbel:
Die Hyperbel ist die geometrische Ortslinie aller Punkte der Ebene, für welche der Betrag der Differenz der Entfernungen von 2 festen Punkten konstant ist.
Parabel:
Die Parabel ist die geometrische Ortslinie aller Punkte der Ebene, für welche die Entfernung von einem festen Punkt und der Abstandvon einer festen Gerade gleich groß sind. (Der Festpunkt liegt nicht auf der Festgeraden !)
2.3.2. Gleichungen
Aus der Definition ergeben sich die Gleichungen der Kurven in Normallage = Achse(n) der Kurve auf den Koordinatenachsen und Mittelpunkt bzw. Scheitelpunkt im Ursprung
Ellipse:
X²/a² + Y²/b² = 1 mit e² = a² - b²
(Mittelpunktsform = Ursprungsform)
Tangente in T(Xo;Yo) von H : XXo/a² + YYo/b² = 1
Hyperbel:
X²/a² -Y²/b² = 1 mit e² = a² + b²
(Mittelpunktsform = Ursprungsform)
Tangente in T(Xo;Yo) von H : XXo/a² - YYo/b² = 1
Parabel:
Y² = 2pX (nach rechts geöffnet) Y² = -2pX (nach links geöffnet) X² = 2pY (nach oben geöffnet) X² = -2pY (nach unten geöffnet) (Scheitelpunktsform = Ursprungsform)
Tangenten in T(Xo;Yo) der Parabel P (oben entsprechend ...)
YYo = p (X + Xo) YYo = - p (X + Xo) XXo = p (Y + Yo) XXo = - p (Y + Yo)
2.4. Kurvendiskussion
2.4.1. Stetigkeit
Satz:
Ist in einem Intervall f '(X) stets positiv, d.h. f '(X) > 0, Für X Î J, so ist die Funktion f (X) streng monoton steigend.
Ist in einem Intervall f '(X) stets negativ, d.h. f '(X) < 0, Für X Î J, so ist die Funktion f (X) streng monoton fallend.
2.4.2. Krümmungsverhalten
Satz:
Ist in einem Intervall f "(X) stets positiv, d.h. f "(X) > 0, Für X Î J, so ist die Funktion f (X) links gekrümmt.
Ist in einem Intervall f "(X) stets positiv, d.h. f "(X) > 0, Für X Î J, so ist die Funktion f (X) rechts gekrümmt.
3. Die AB-Aufgaben |
Gegeben sind:
a) Stelle die Abbildungsgleichung von Q nach P auf. Für welche Q gibt es keinen eindeutigen Bildpunkt ? Gib den geometrischen Grund dafür an.
Lösung:
Ich stelle die Geradengleichung auf:
AR: y = v/a x + v
BQ: y = v-0/u-(-a) x + c
= v/u+a x + c
BQ: 0 = v/u+a (-a) + c, da A Î BQ
Û c = va/u+a
also:
BQ: y = v x+a/u+a
Q Î BQ Ç AR genau dann, wenn gilt:
1) yQ = v/a x + v
2) yQ = v x+a/u+a
1) in 2) v/a x + v = v x+a/u+a
3) x = - u/(u+a)
b) Stelle die Gleichung der Umkehrabbildung auf. Formuliere für die Umkehrabbildung eine geometrische Vorschrift.
c) Stelle die Gleichung der Ortskurve q auf, die der Punkt P erzeugt, wenn der Punkt Q den Kreis k mit der Gleichung X² + Y² = r², r > 0, durchläuft. Gib die Bedingung für die verschiedenen möglichen Kurventypen an.
d) Stelle die Gleichung der Ortskurve q auf, die der Punkt P erzeugt, wenn der Punkt Q den Kreis k mit dem Radius r=2a durchläuft. Bestimme Art, Lage und Formgröße von q.
e) Zeichne für a = 3 den Kreis k und die entsprechende Ortskurve q. Konstruiere zu Q1(2;v1£0)und Q2(-4,5;v2³0) die entsprechende Abbildungspunkte. Kennzeichne mit einem Farbstift, wie der von Q1 nach Q2 gerichtete Kreisbogen abgebildet wird.
f) Stelle nun die Gleichung der Ortskurve q auf, die der Punkt P erzeugt, wenn der Punkt Q den Kreis k mit r=a durchläuft.
g) Zeichne für a = 6 den Kreis und die entsprechende Ortskurve q. Konstruiere zu Q1(4;v1³0)und Q2(-4;v2£0) die entsprechenden Abbildungspunkte. Kennzeichne mit einem Farbstift, wie der von Q1 nach Q2 gerichtete Kreisbogen abgebildet wird.
Gegeben sind:
a) Bestimme den Mittelpunkt M und den Radius R der Kugel. Zeige, dass die Kugel K symmetrisch zur Ebene E liegt.
Lösung:
M (-2; -1; 3); R = 6; K ist dann symmetrisch zur Ebene, wenn M Î E ist. (d.h.: Koordinaten von M in Gleichung von E einsetzen)
b) k sei der Schnittkreis von E mit K. Zeige, dass der Punkt C auf k liegt. c sei die Tangente in C an den Kreis k. Stelle eine Parametergleichung von c auf. Zeige, dass der Punkt B auf c liegt. Begründe ohne Rechnung, dass der Punkt B auf der Ebene E und außerhalb der Kugel K liegt.
Lösung:
Wenn der Punkt C auf dem Schnittkreis liegt, dann gilt: C Î E & C Î K
also:
2*0 + 3 +2*(-1) -1 = 0 (w)
((2_-2_-4))² = 36 (w)
also liegt der Punkt auf dem Schnittkreis k.
Parametergleichung für c:
Die Tangente in C an k steht senkrecht auf den Berührradius MC^ und auf der Normalenrichtung der Ebene.
Für einen Richtungsvektor r^ von c gilt:
1) r^ * MC^ = 0
2) r^ * ME^ = 0
1) r^ * (( 2_ 4_ -4_)) = 0
2) r^ * (( 2_ 1_ 2_)) = 0
1) 2r1 + 4r2 - 4r3 = 0
2) 2r1 + 1r2 + 2r3 = 0
Festlegung: r3 = 1
Þ r1 = -2 & Þ r2 = 2
also:
r^ = (( -2_ 2_ 1_ ))
Für die Tangente ergibt sich dann:
c: x^ = xc^ + t*r^
c: x^ = (( 0_ 3_ -1_ ))+ t*(( -2_ 2_ 1_ ))
Für B Î c gilt:
xB^ = (( 0_ 3_ -1_ ))+ t*(( -2_ 2_ 1_ ))
Û (( 8_ -8_ -4_ )) = (( 0_ 3_ -1_ ))+ t*(( -2_ 2_ 1_ ))
Da für t = -4 die Gleichung erfüllt ist, liegt der Punkt B auf der Tangente c.
c) Zeige, dass der Punkt A auf der Ebene E und innerhalb der Kugel liegt. Begründe ohne Rechnung, dass der Kreis k die Strecke AB in einem inneren Punkt S schneidet.
Lösung:
Beweis, daß A ÎE und innerhalb der Kugel liegt:
2*1 + (-5) + 2*2 -1 = 0, da A ÎE
(((( 1_-5_ 2 )) - (( -2_-1_ 3 )))) < 36, also liegt A innerhalb von K
B liegt in E außerhalb des Kreises und A liegt in E innerhalb des Kreises, also schneidet K die Strecke AB in einem inneren Punkt S.
d) Bestimme diesen inneren Punkt S der Strecke AB. Liegt der 2. Schnittpunkt S' der Geraden g=AB mit der Kugel K auch auf dem Kreis k ? Begründe kurz die Antwort ohne Rechnung.
Lösung:
Der 2. Schnittpunkt S' der Geraden g=AB liegt auch auf dem Kreis, da A und B Î E ist und somit S' auch Î k ist.
Gegeben sind:
a) Bestimme den Mittelpunkt M und den Radius R der Kugel. Zeige, dass die Kugel K symmetrisch zur Ebene E liegt.
Lösung:
M (-3;-2;1 ); R = 6; K ist dann symmetrisch zur Ebene, wenn M Î E ist. (d.h.: Koordinaten von M in Gleichung von E einsetzen)
b) k sei der Schnittkreis von E mit K. Zeige, dass der Punkt C auf k liegt. c sei die Tangente in C an den Kreis k. Stelle eine Parametergleichung von c auf. Zeige, dass der Punkt B auf c liegt. Begründe ohne Rechnung, dass der Punkt B auf der Ebene E und außerhalb der Kugel K liegt.
c) Zeige, dass der Punkt A auf der Ebene E und innerhalb der Kugel liegt. Begründe ohne Rechnung, dass der Kreis k die Strecke AB in einem inneren Punkt S schneidet.
d) Bestimme diesen inneren Punkt S der Strecke AB. Liegt der 2. Schnittpunkt S' der Geraden g=AB mit der Kugel K auch auf dem Kreis k ? Begründe kurz die Antwort ohne Rechnung.
Für ein beliebiges t sei die Fläche K=K(t) gegeben durch die Gleichung
a) Zeige, dass K für jedes t eine Kugelfläche ist. Bestimme den Mittelpunkt M=M(t) und den Radius R=R(t).
Lösung:
Ich bringe die Gleichung von K in die Mittelpunktsform:
(( x^ - (( (3t+2)/2_ 3t_ -(3t+2)/2_ ))² = 1 + 18 t²
Die rechte Seite ist für alle t positiv. Die Gleichung definiert also eine Kugel mit dem Mittelpunkt M (...) und dem Radius R = ...
b) Wenn t variiert, so bewegt sich M auf einer Kurve g. Stelle die Parametergleichung für g auf.
Lösung:
xm^= (( (3t+2)/2_ 3t_ -(3t+2)/2_ ))
= (( 1_ 0_ 1_ )) + t*(( 3/2_ 3_ 3/2_ ))
M bewegt sich also auf der Gerade:
g: x = (( 1_ 0_ 1_ )) + t*(( 3/2_ 3_ 3/2_ ))
c) E sei eine Ebene durch den Punkt M0 = M(0), welche senkrecht auf g steht. Zeige, dass für alle t die Kugel K=K(t) und K'=K(-t) symmetrisch zur Ebene E liegen.
Lösung:
K' = K(-t)
K': (( x^ (( -(3t+2)/2_ -3t_ (3t+2)/2_ )) = 1 + 18 t²
In der Gleichung von K wurde der Faktor t durch -t ersetzt.
M' ... & R' = ...
Wenn die beiden Kugeln K & K' symmetrisch zur Ebene liegen, dann gilt:
1. M0 ist der Mittelpunkt der Strecke MM'
2. R = R'
M1 sei der Mittelpunkt der Strecke MM'
xM1 = (xM + xM')/2 = (( 1_ 0_ 1_ )), also M1 = M0
Da zu dem R = R' ist, ist K und K' symmetrisch zur Ebene E
d) Weise nach, daß für alle t die Kugeln K und K' sich in einem Kreis k schneiden. Wo liegt dieser Kreis ? Bestimme den Radius r=r(t) von k.
Lösung:
K und K' schneiden sich genau dann, wenn gilt:
R + R > MM'
Û t² > -1/3
Die letzte Gleichung ist für alle t erfüllt. Also schneiden sich K und K' in einem Kreis. Wegen der Symmetrie liegt K in der Ebene.
K und K' schneiden sich genau dann senkrecht wenn gilt:
R² - MM'² = r² (Pythagoras)
Û 2R² = MM'²
Û r = Ö(1 + 9/2 t²)
e) Bestimme die Werte von t, für welche K und K' sich rechtwinklig schneiden. Gebe die Gleichungen der entsprechenden Kugeln an. Welche Radien haben die Kugeln und der entsprechende Schnittkreis ?
Gegeben sind
a) Stelle eine Koordinatengleichung der Ebene E auf, die von A, B und C aufgespannt wird. Die Kugel K mit dem Ursprung O als Mittelpunkt berühre die Ebene E in F. Bestimme F und stelle die Gleichung von K auf.
Lösung:
Für n ^ E gilt:
1) AB^ * n^ = 0
2) AC^ * n^ = 0
1) ((-3_ 4_ -1_ )) * n^ = 0
2) (( 3_ -2_ 2_ )) * n^ = 0
1) -3n1 + 4n2 -1n3 = 0
2) 3n1 - 2n2 + 2n3 = 0
Þ eine Lösung: n^ = (( 2_ 1_ -2_ ))
E: n^ (x^- xa^) = 0
Û (( 2_ 1_ -2_ )) x^ - 3 = 0
HNF von E: 1/3 (( 2_ 1_ -2_ )) x^ - 1 = 0
d = d (E; 0)
d = 1/3 (( 2_ 1_ -2_ )) x0^ - 1
d = - 1
also:
xF^ = OF^ = -FO^ = -d n0^ = 1 1/3 (( 2_ 1_ -2_ ))
xF^ = (( 2/3_ 1/3_ -2/3_ ))
Gleichung von K: x^² = d²
K: x^² = 1 (Einheitskugel !)
Aufstellung der Ebenengleichung:
E: x^ = p1^ + t (p2^-p1^) + s (p3^-p1^)
= (( 3_ 0_ 3_ )) + t (( 1_ 0_ 1_ )) + s (( 1_ 0_ 1_ ))
é 3 + t + s = x1 Û í 0 + 0 + 0 = x2 ë 3 + t + s = x3 ...
...
...
b) Bestimme den Mittelpunkt Mt und den Radius Rt von Kt. Stelle die Gleichung des Schnittkreises kt von Kt mit der X1X3-Ebene auf. Für welche t gibt es einen solchen Schnittkreis ? Berechne den Wert für t, für den Kt die X1X3-Ebene berührt. Ermittle den Berührpunkt S.
Lösung:
Ich bringe die Gleichung von Kt in die Mittelpunktsform:
Kt: (( x^ - (( 2t_ t+3_ -2t_ )) ))² = 9t²
also: Mt (2t;t+3;-2t); Rt = 3t
c) Ermittle t so, dass der Kreis kt die X3-Achse berührt.
d) Zeige, dass keine der Kugeln Kt die Kugel K rechtwinklig schneidet.
e) Zeige, dass alle Kugeln Kt die Ebene E in dem selben Punkt berühren. Bestimme den gemeinsamen Berührpunkt T.
Gegeben sind
a) Bestimme den Mittelpunkt Mt und den Radius Rt von Kt. Stelle die Gleichung des Schnittkreises kt von Kt mit der X1X2-Ebene auf. Für welche t gibt es einen solchen Schnittkreis ? Berechne den Wert für t, für den Kt die X1X2-Ebene berührt. Ermittle den Berührpunkt S.
Lösung:
Ich bringe die Gleichung von Kt in die Mittelpunktsform:
Kt: (( x^ - (( 4t_ -2t_ 3t+4_ )) ))² = 25t²
also: M (4t;-2t;3t+4); Rt = 5t
x ( x1; x2; x3; ) Î kt bzw. Kt und X1X2-Ebene
genau dann, wenn gilt:
x Î Kt & x3 = 0
(( (( x1_ x2_ 0_ )) - (( 4t_ -2t_ 3t+4_ )) ))² = 25t²
Û (x1-4t)+(x2-2t)+(3t+4)² = 25t²
Û (x1-4t)+(x2-2t) = 25t² - (3t+4)²
also: Nt (( 4t_ -2t_ 0 )) und rt= 2
b) Ermittle t so, dass der Kreis kt die X1-Achse berührt.
c) Ermittle t so, dass der Kreis kt die X2-Achse berührt.
d) Zeige, dass keine der Kugeln Kt die Kugel K rechtwinklig schneidet.
Gegeben ist
a) Bestimme allgemein die Schnittpunkte des Graphen von ft mit den Koordinatenachsen, dessen Extrempunkte, Wendepunkte sowie Asymptoten. Zeichne als allgemein Repräsentanten den Graph von ft für t=2 im Bereich -5 £ X £ 2,5 ( LE = 1 cm)
Lösung:
4) Wendepunkte:
notwendige Bedingung: f"(x) = 0
f"(x) = 0
Û x = -t
x2 := -t
hinreichende Bedingung: f"(x)=0 & f'"(x) ¹ 0
f'"(x2) = -1/t * e^-1
-1/t * e^-1 ¹ 0
also ist x2 = 0 die Wendestelle von ft.
ft(x2) = 2te^-1 ist das entsprechende lokale Maximum
also ist Wt(-t;2t/e)
5) Randextremwerte:
lim x-->¥ (ft(x)) = -¥, da der
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 y = f(x) 1,62 2,23 2,94 3,63 4 3,29 0
b) Begründe geometrisch anschaulich aufgrund der Lage des Hochpunktes und des asymptotischen Verhaltens des Graphen von ft, dass dieser im 2. Quadranten (mindestens) einen Wendepunkt besitzt.
Lösung:
Für x < 0 verläuft der Graph von t ganz im 2. Quadranten, unmittelbar links von Ht ist ft rechtsgekrümmt. Würde ft nur rechts gekrümmt sein, so müßte ft die x-Achse schneiden, was nicht der Fall ist. Also gibt es einen Punkt im 2. Quadranten, wo die Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung übergeht; Also muß ein Wendepunkt existieren.
c) Wenn t variiert, so bewegt sich der Wendepunkt W auf einer Kurve w. Stelle deren Gleichung auf.
Lösung:
Gleichung der Wendetangenten:
Wt(-t;2t²/e)
1) xwt = -t
2) ywt = 2t²/e
1) in 2) ywt = 2t/e xwt²
w: y = 2t/e x² Parabel mit dem Formfaktor 2/e
d) Der Graph ft, die X-Achse und die Gerade g: X = u, u £ t, begrenzen ein Flächenstück. Berechne dessen Flächeninhalt Ft(u).
Lösung:
Berechnung des Integrals Ft(u) durch partielle Integration:
Ft(u) = uòt f(x) dx
Ft(u) = t {[(t-x) t exp(x/t)]u,t + uòt t exp(x/t) dx}
Ft(u) = t {(-2t²+tu)exp(u/t) + t²exp(1)}
Ft(u) = t² {(u - 2t)exp(u/t) + t exp(1)}
e) Berechne den Flächeninhalt Ft der sich ins Unendliche erstreckenden Gesamtfläche, den der Graph ft mit der X-Achse umschließt. Die unter c) bestimmte Kurve w mit X £ 0 zerteilt die Gesamtfläche in ein linkes und ein rechtes Teilstück. Berechne das Flächenverhältniss der linken zur rechten Teilfläche. Welches Teilstück ist in jedem Fall größer ?
Lösung:
Berechnung:
Ft = lim u-->¥ (Ft(u))
= t³ exp(1), da der e-Faktor schneller gegen
FLt := Flächeninhalt des linken Teilstücks FRt := Flächeninhalt des rechten Teilstücks FLt = Ft(xwt) - xwtò0 w(x) dx
= t³ (3 exp(2) - 11) / (3 exp(1))
FRt = Ft - FLt
= t³ * 11 / (3 exp(1))
Flächenverhältnis:
FLt/FRt = 3e²/11 - 1
Das linke Flächenstück ist auf jedem Fall größer als das rechte, da es nicht von t abhängt.
Gegeben sind
a) Bestimme allgemein die Schnittpunkte des Graphen von ft mit den Koordinatenachsen, dessen Extrempunkte, Wendepunkte sowie Asymptoten. Zeichne als allgemein Repräsentanten den Graph von ft für t=1 im Bereich -1,5 £ X £ 4 ( LE-X-Achse = 2,5 cm, LE-Y-Achse = 5 cm )
Lösung:
1) Nullstellen:
ft(x) = 0 Û x = t²
also: At(-t²;0)
ft(0) = t
also: Bt(0;t)
2) Ableitungen:
ft'(x) = ((1-t)/t - x/t²) exp(-x/t)
ft"(x) = ((t-2)/t² - x/t³) exp(-x/t)
3) Extrempunkte:
VZW-Kriterium:
ft'(x) ³£ 0
Û (1-t)/t - x/t² ³£ 0 , da exp(-x/t) > 0
Û t(1-t) ³£ x
x1 := t(1-t)
(Zeichnung ...)
f'(x) macht an der Stelle x1 einen VZW von + nach - , also ist x1 die lokale Maximumstelle.
ft(x1) = exp(t-1) ist das entsprechende lokale Maximum.
also ist Ht (t(1-t)/exp(t-1)) der Hochpunkt von ft(x)
4) Wendepunkte:
VZW-Kriterium:
ft"(x) ³£ 0
Û (t-2)/t² - x/t³ ³£ 0, da exp(-x/t) > 0
Û x ³£ t(2-t), da t > 0
x2 := t(2-t)
(Zeichnung ...)
f"(x) macht an der Stelle x2 einen VZW , also ist x2 eine Wendestelle.
ft(x2) = 2*exp(t-2)
also ist Wt (t(2-t)/2exp(t-2)) der Wendepunkt von ft(x)
5) Randverhalten von ft:
lim x-->¥ (ft(x)) = 0, da e-Faktor schneller gegen 0 strebt, als der andere gegen ¥
lim x-->¥ (ft(x)) = 0, da e-Faktor schneller gegen 0 strebt, als der andere gegen ¥
6) Asymptoten:
Die x-Achse ist die waagerechte Asymptote von ft.
x -1,5 -1 0 1 2 3 5 y = f(x) -2,24 0 1 0,74 0,4 0,2 0,1
b) Stelle die Gleichung der Wendetangenten wt von ft auf und bestimme deren Schnittpunkt Ct mit der X-Achse
Lösung:
Gleichung der Wendetangenten:
wt: (y-2exp(t-2))/(x-t(2-t)) = ft'(t(2-t))
= - 1/t exp(t-2)
Û wt : y = -exp(t-2)/t * x + (4-t)exp(t-2)
Ct : yct = 0 ; 0 = -exp(t-2)/t * xct + (4-t)exp(t-2)
Û xct = t(4-t), also Ct (t(4-t);0)
c) Begründe geometrisch anschaulich aufgrund der Lage des Hochpunktes und des asymptotischen Verhaltens des Graphen von ft, dass dieser im 1. Quadranten (mindestens) einen Wendepunkt besitzt.
Lösung:
Für x < 0 verläuft der Graph von t ganz im 1. Quadranten, unmittelbar links von Ht ist ft rechtsgekrümmt. Würde ft nur rechts gekrümmt sein, so müßte ft die x-Achse schneiden, was nicht der Fall ist. Also gibt es einen Punkt im 1. Quadranten, wo die Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung übergeht. Also muß ein Wendepunkt existieren.
d) Der Graph von ft, die X-Achse und die Gerade g: X = u, -t² £ u, begrenzen ein Flächenstück. Berechne dessen Flächeninhalt Ft(u).
Lösung:
Berechnung des Integrals Ft(u) durch partielle Integration:
Ft(u) = -t²òu f(x) dx
Ft(u) = [(t+x/t)exp(-x/t)(-t)]-t²,u + -t²òu exp(-x/t) dx
Ft(u) = (-t²-u)exp(-u/t) + [exp(-x/t)(-t)]-t²,u
Ft(u) = t exp(t) - (t²+t+u)exp(-u/t)
e) Berechne den Flächeninhalt Ft der sich ins Unendliche erstreckenden Gesamtfläche, welche den Graph ft und die X-Achse umschließen. Die Wendetangente wt zerlegt die letztgenannte Fläche in 2 Teilflächen. Berechne das Flächenverhältnis der linken zur rechten Teilfläche. Interpretiere das Besondere des Ergebnisses.
Lösung:
Berechnung:
Ft = lim u-->¥ (Ft(u))
= t exp(t), da der e-Faktor des 2.Summanden schneller gegen 0 strebt, als die Polynomfunktion gegen ¥.
FLt := Flächeninhalt des linken Teilstücks FRt := Flächeninhalt des rechten Teilstücks FLt = Ft(xwt) + 1/2(xct-xwt) ywt
= t exp(t) - t exp(t-2)
FRt = Ft - FLt
= t exp(t-2)
Flächenverhältnis:
FLt/FRt = e² -1
Das linke Flächenstück ist auf jedem Fall größer als das rechte, da es nicht von t abhängt.
(* Übungsaufgabe mit ft(x) = (t² + X/t) exp(X/t)) *)
f sei eíne rationale Funktion mit einem Funktionsterm der Form
seien Asymptoten des Graphen f. Weiter nehme die Funktion an der Stelle X = -4 ein lokales Extremum an.
a) Berechne die Koeffizienten des Funktionsterms.
Lösung:
g: X = - 2 ist die vertikale Asymptote,
also: lim x-->-2 (X + d) = 0
d = 2
Somit gilt:
f(X) = ( aX² + bX + c ) / ( X + 2 )
Durch Restdivision ergibt sich:
f(x) = aX + (b - 2a) + (c - 2b + 4a) / (x + 2)
da der Bruch für x-->¥ gegen 0 strebt ergibt sich für die Querasymptote
h(x) = aX + (b - 2a)
also:
1) a = -1/2
2) b-2a = 3/1/4
1) in 2) b = 2/1/4
also:
f(x) = -1/2 X + 3/1/4 + (c - 6/1/2) / (x + 2)
f'(x) = -1/2 + (6/1/2 - c) / (x + 2)²
Da an der Stelle -4 ein lokales Extremum vorliegt gilt:
f'(-4) = 0
Û -1/2 + (6/1/2 - c) / 4 = 0
Û c = 4/1/2
also:
f(x) = (-1/2 X² + 9/4 X + 9/2) / (x + 2)
Û f(x) = (-2 X² + 9 X + 18) / (4x + 8)
b) Untersuche die Funktion auf Nullstellen und Extremwerte und den Graphen auf Wendepunkte und Krümmungsverhalten. Zeichne f im Bereich -8 £ X £ 8
Lösung:
f(x) = -1/2 X + 13/4 - 2/(X + 2)
1) Ableitungen
f'(x) = -1/2 + 2 / (X + 2)²
f"(x) = - 4 / (X + 2)³
f'"(x) = 12 / (X + 2)^4
2) Nullstellen
f(x) = 0
Û x = 6
3) Asymptoten von f
von links lim x-->-2 (f(X)) = ¥
von rechts lim x-->-2 (f(X)) = -¥
also ist -2 eine Polstelle von f
also ist g(y) = -2 eine vertikale Asymptote von f
mit h(x) = -1/2x + 13/4 gilt:
lim x-->±¥((f-h)(x)) =
lim x-->±¥( 2/(x+2)) = 0
also ist h(x) eine Querasymptote
4) Extrempunkte
notwendige Bedingung: f'(x) = 0f'(x) = 0
Û x = 0 & x = -4
x1 := 0; x2 := -4
hinreichende Bedingung: f'(x)=0 & f"(x) ¹ 0
f"(x1) = -1/2
-1/2 < 0
also liegt an der Stelle x1 = 0 eine lokale Maximumstelle vor.
f(x1) = 2/1/4 ist das entsprechende lokale Maximum
H(0;2/1/4) ist also der entsprechende Hochpunkt
F"(x2) = 1/2
1/2 > 0
also liegt an der Stelle x2 = -4 eine lokale Minimumstelle vor.
F(x2) = 6/1/4 ist das entsprechende lokale Minimum
T(-4;6/1/4) ist also der entsprechende Tiefpunkt
5) Wendepunkte
Insbesonder ist f"(x) = 0 nicht erfülltbar. Das heißt: es gibt keinen Wendepunkt !
c) Für X < -2 ist die 2. Ableitung von f stets positiv. Begründe allein aufgrund dieses Sachverhalts, dass der Graph f in diesem Bereich höchstens ein Extremum besitzt.
Lösung:
Im ganzen Definitionsbereich ist die 2. Ableitung stets positiv. Daraus folgt, daß die Ableitung f' in diesem Bereich streng monoton steigend ist. Der Graph von f' kann also höchstens an einer Stelle die x-Achse schneiden. Also ist die notwendige Bedingung für ein Extremum höchstens an einer Stelle erfüllt.
d) Berechne das Integral F(u) von f in den Grenzen von 0 bis u, u > -2
Lösung:
Berechnung des Integrals F(u):
F(u) = 0òu f(x) dx
F(u) = [-1/4 x² + 13/4 x - 2*ln(|x+2|)]0,u
F(u) = -1/4 u² + 13/4 u- 2*ln((u+2))
e) Die Schnittpunkte des Graphen von f mit der X-Achse seien N1 und N2. Die Senkrechten in diesem Punkt auf der X-Achse schneiden die Gerade h in den Punkten A1 bzw. A2. Das Trapez N1N2A2A1 wird vom Graphen von f in 2 Teile zerschnitten. Berechne unter Verwendung des Ergebnisses unter c) das Flächenverhältnis der unteren zur oberen Teilfläche als Rechenausdruck.
Lösung:
Ft := Flächeninhalt des Trapezes Fo := Flächeninhalt des oberen Flächenstückes Fu := Flächeninhalt des unteren Flächenstückes
Ft = (h(xN1)+h(xN2))/2 * (xN1-xN2) = 15/15/16
Fu = F(xN2)-F(xN1) = 15/15/16 - 4 ln(4)
Fo = Ft - Fu = 4 ln(4)
Fu/Fo = [ (15/15/16) / (4 ln(4)) ] - 1
f sei eíne rationale Funktion mit einem Funktionsterm der Form
seien Asymptoten des Graphen f. Weiter nehme die Funktion an der Stelle X = 5 ein lokales Extremum an.
a) Berechne die Koeffizienten des Funktionsterms.
Lösung:
g: X = - 2 ist die vertikale Asymptote,
also: lim x-->3 (X + d) = 0
d = -3
Somit gilt:
f(X) = ( aX² + bX + c ) / ( X - 3)
Durch Restdivision ergibt sich:
f(x) = aX + (3a + b) + (9a + 3b + c) / (x - 3)
da der Bruch für x-->¥ gegen 0 strebt ergibt sich für die Querasymptote
h(x) = aX + (3a + b)
also:
1) a = 1/2
2) 3a+b = 1
1) in 2) b = -1/2
also:
f(x) = 1/2 X + 1 + (3+c)/(x-3)
f'(x) = 1/2 - (3+c)/(x-3)²
Da an der Stelle 5 ein lokales Extremum vorliegt gilt:
f'(5) = 0
Û 1/2 - (3+c)/4 = 0
Û c = -1
also:
f(x) = (1/2 X² - 1/2 X - 1) / (x - 3)
b) Untersuche die Funktion auf Nullstellen und Extremwerte und den Graphen auf Wendepunkte und Krümmungsverhalten. Zeichne f im Bereich -8 £ X £ 8
Lösung:
f(x) = (1/2 X² - 1/2 X - 1) / (x - 3)
1) Ableitungen
f'(x) = 1/2 - 2 / (X - 3)²
f"(x) = 4 / (X - 3)³
f'"(x) = - 12 / (X - 3)^4
2) Nullstellen
f(x) = 0
Û x = ???
3) Asymptoten von f
von links lim x-->3 (f(X)) = ¥
von rechts lim x-->3 (f(X)) = -¥
also ist 3 eine Polstelle von f
also ist g(y) = 3 eine vertikale Asymptote von f
mit h(x) = 1/2x + 1 gilt:
lim x-->±¥ ((f-h)(x)) =
lim x-->±¥ (-2/(x-3)) = 0
also ist h(x) eine Querasymptote
4) Extrempunkte
notwendige Bedingung: f'(x) = 0f'(x) = 0
Û (X - 3)² = 4
Û X - 3 = ±2
Û x = 5 & x = 1
x1 := 5, x2 := 1
hinreichende Bedingung: f'(x)=0 & f"(x) ¹ 0
f"(x1) = 1
1 > 0
also liegt an der Stelle x1 = 5 eine lokale Minimumstelle vor.
f(x1) = 9/2 ist das entsprechende lokale Minimum
H(5;9/2) ist also der entsprechende Tiefpunkt
F"(x2) = 1
1 > 0
also liegt an der Stelle x2 = 1 eine lokale Minimumstelle vor.
F(x2) = 1/2 ist das entsprechende lokale Minimum
T(1;1/2) ist also der entsprechende Tiefpunkt
5) Wendepunkte
Insbesonder ist f"(x) = 0 nicht erfülltbar. Das heißt: es gibt keinen Wendepunkt !
c) Für X < 3 ist die 2. Ableitung von f stets positiv. Begründe allein aufgrund dieses Sachverhalts, dass der Graph f in diesem Bereich höchstens ein Extremum besitzt.
Lösung:
Im ganzen Definitionsbereich ist die 2. Ableitung stets positiv. Daraus folgt, daß die Ableitung f' in diesem Bereich streng monoton steigend ist. Der Graph von f' kann also höchstens an einer Stelle die x-Achse schneiden. Also ist die notwendige Bedingung für ein Extremum höchstens an einer Stelle erfüllt.
d) Berechne das Integral F(u) von f in den Grenzen von 0 bis u, u > 3
Lösung:
F(u) = 0òu f(x) dx
F(u) = [1/4 x² + x - 2*ln(|x-3|)]0,u
F(u) = 1/4 u² + u- 2*ln(u-3)
e) Die Schnittpunkte des Graphen von f mit der X-Achse seien N1 und N2. Die Senkrechten in diesem Punkt auf der X-Achse schneiden die Gerade h in den Punkten A1 bzw. A2. Das Trapez N1N2A2A1 wird vom Graphen von f in 2 Teile zerschnitten. Berechne unter Verwendung des Ergebnisses unter c) das Flächenverhältnis der unteren zur oberen Teilfläche als Rechenausdruck.
Lösung:
Ft := Flächeninhalt des Trapezes Fo := Flächeninhalt des oberen Flächenstückes Fu := Flächeninhalt des unteren Flächenstückes
Ft = (h(xN1)+h(xN2))/2 * (xN1-xN2) =
Fu = F(xN2)-F(xN1) =
Fo = Ft - Fu =
Fu/Fo =
E sei eine Ellipse mit der Gleichung
a) Zeichne die Ellipse für a = 4 und kennzeichne darin die oben beschriebenen Verhältnisse. Stelle die Gleichung von n auf und bestimme den Schnittpunkt N von n mit der Y-Achse.
Lösung:
E: X² + 2Y² = a²
E: X²/a² + Y²/(a²/2) = 1
Länge der Halbachse in x-Richtung: a Länge der Halbachse in y-Richtung: a/Ö2 Ich stelle nun zunächst die Gleichung der Tangente auf:
t: ux + 2vy = a²
Û vy = -ux + a²
Û y = -u/2v x + a²/2v
also: mt = -u/2v
Jetzt stelle ich nun die Gleichung von n auf:
n: y-v/x-u = - 1/mt = 2v/u
Û y = 2v/u * x - v
Für den Schnittpunkt von N gilt:
N: xn = 0
y = -v
also: N(0/-v)
b) Eine zur Y-Achse symmetrische Ursprungsparabel P geht durch den Punkt T. Stelle die Gleichung in Abhängigkeit von u und v auf und zeige, dass sie E rechtwinklig schneidet. Skizziere die Parabel in dem Schaubild.
Lösung:
Aufstellung der Parabelgleichung:
P: y = cx²
P: v= u² c, da T Î P
Û c = v/u²
also:
P: y = v/u² x²
P'(x)= 2v/u² x
Im Punkt T ist die Steigung P'(u)= 2v/u. Dies ist gerade die Steigung der Normalen n. Also schneidet E, P in T.
c) P schneidet E senkrecht. Begründe allein aufgrund des Ergebnisses unter a) diese Tatsache.
Lösung:
t sei die Tangente in T an P. Sie schneide die Achse in N'.
d) T' bzw. n' bezeichnen die an der Y-Achse gespiegelten Bilder von T bzw. n. Berechne den Flächeninhalt F des von n, n' und der Parabel P umrandeten Flächenstücks in Abhängigkeit von v.
e) Bestimme T so, dass der unter d) erwähnte Flächeninhalt maximal ist. Wie verhält sich die Ellipsenfläche zur Maximalfläche ? Nenne das Besondere des Ergebnisses.
Ein an einer Spitze hängender Kegel mit dem Radius a und der Höhe b entstehe durch Drehung eines gleichschenkligen Dreiecks um die Y-Achse. Die Spitze des Dreiecks liege im Ursprung des Koordinatensystems. Unter den Kegel wird durch Drehung einer Parabel P=P(u) um ihre Achse entstehendes Paraboloid so geschoben, dass die Achse der Umrissparabel P mit der Kegelachse zusammenfällt und der Basiskreis des Kegels das Paraboloid von innen berührt. Die zum Basiskreis parallele Ebene durch die Spitze des Kegels schneidet das Paraboloid ab.
a) Stelle die Gleichung der Umrissparabel in Abhängigkeit von u auf. u bezeichnet den Formfaktor der Parabel
Lösung:
Aufstellung der Parabelgleichung:
P: y = u x² + c
da T Î P ist, gilt:
-b = ua² + c
Û c = -b -ua²
Somit gilt:
P: y = u x² -b -ua²
b) Berechne das Volumen des Paraboloid in Abhängigkeit von u.
Lösung:
Aufstellung der Umkehrfunktion:
P_: x = ((y + b +ua²) / u )
Berechnung des Paraboloids:
V = p cò0 P_(y)² dy
V = p/u [1/2 y² + by +ua²y]0,(-b-ua²)
V = 1/2 p/u b²
c) Bestimme das Paraboloid mit dem kleinsten Volumen. Gib die Gleichung der entsprechenden Umrissparabel an.
d) Berechne das Volumenverhältnis des Minimalparaboloids zum gegebenen Kegel. Interpretiere das Besondere des Ergebnisses. Zeichne die zum Minimum gehörende Achsenschnittfigur für a=2 und b=3.
Gegeben ist die zur Y-Achse symmetrische Parabel
a) Bestimme den Scheitelpunkt S und die Nullpunkte N (mit XN > 0) und N'.
Lösung:
a) Aufstellung der Parabelgleichung:
P: y = -ax² + ab²
Demnach ist der Scheitelpunkt S (0; ab²)
b) Bestimmung der Nullpunkte:
f(x) = 0
Û x = b, also N(b;0)
N'(-b;0), da P symmetrisch zur Y-Achse ist.
c) Ableitung von P' :
P': y = -2ax
b) T (u;v) sei ein beliebiger Punkt der Parabel P, der zwischen dem Scheitelpunkt S und dem Nullpunkt N variiere. In T wird die Tangente t an P gelegt. Sie schneide die X-Achse in A und die Y-Achse in B. Bestimme A und B in Abhängigkeit von u und v.
Lösung:
Bestimmung der Tangente t:
mt = y-v/x-u = P'(u) = -2au
Û y-v = -2aux + 2au²
also: g: y = -2aux + v + 2au²
Schnittpunkt mit der x-Achse:
g(x) = 0
Û 0 = -2aux + 2au² + v
Û x = (2au²+v)/2au
also: A( (2au²+v)/2au; 0)
Schnittpunkt mit der y-Achse:
g(0) = 2au² + v
Û y = 2au² + v
also: B(0; 2au²+v)
c) Berechne den Flächeninhalt F des Dreiecks ABA' in Abhängigkeit von u.
Lösung:
Berechnung des Flächeninhaltes F:
F = 1/2 g * h ½ g=2(2au²+v)/2au; h=2au²+v
F(u) = (2au²+v)²/2au
d) Bestimme von allen möglichen Dreiecken unter b) dasjenige mit dem kleinsten Flächeninhalt. Gib die Grundseite und Höhe des Minimaldreiecks an. Wie verhält sich das Minimaldreieck zum Parabelsegment, das durch die X-Achse von P abgeschnitten wird ?
Lösung:
Berechnung des Minimaldreiecks:
1)Zielfunktion:
F(u) = (2au²+v)²/2au
2)Nebenbedingung:
v = -au² + ab², da T Î P
1) in 2)
F(u) = (au²+ab²)²/2au = a (u²+b²)²/2u
Ableitungen:
F'(u) = a * ????
e) Das von der X-Achse abgeschnittene Parabelsegment rotiere mit dem Dreieck ABA' um die Y-Achse. Es entstehe dabei ein festes Paraboloidsegment und ein veränderlicher Kegel. Berechne das Volumen des Paraboloidsegmentes. Berechne das Volumen V des Kegels in Abhängigkeit von u.
f) Bestimme von allen möglichen Kegeln unter e) denjenigen mit dem kleinsten Volumen. Gib den Radius und die Höhe des Minimalkegels an. Berechne das Volumenverhältnis des Minimalkegels zum Paraboloidsegment.
Gegeben ist die zur Y-Achse symmetrische Parabel
a) Skizziere die beschriebenen Verhältnisse in einer Planfigur. Bestimme die Scheitelpunkte S bzw. So von P bzw. Po und den Nullpunkt N von P mit XN>0
Lösung:
a) Aufstellung der Parabelgleichung:
P: y = -a (x²-b²),
Demnach ist der Scheitelpunkt von P S (0; -ab²)
Demnach ist der Scheitelpunkt von Po So (0; ab²)
b) Bestimmung der Nullpunkte:
N:yn = 0 ; 0 = a (xn²-b²)
Û xn = b, da xn > 0
also N(b;0)
b) P und Po umranden ein Flächenstück. Darin wird ein achsenparalleles Rechteck eingefügt, dessen Eckpunkte auf P bzw. Po liegen. Bestimme von allen möglichen Rechtecken dieser Art dasjenige mit dem größten Flächeninhalt. Berechne das Flächenverhältnis des gegebenen Flächenstücks zum maximalen eingefügtem Rechteck.
Lösung:
Aufstellung der Zielfunktion:
1) F = 4 u v
Nebenbedingung:
2) v = a (u² -b²), da A Î P
2) in 1)
F = 4au (u²-b²), u Î ]0;b[
Ableitungen:
F' = 4a (3u²-b²)
F" = 24au
lokale Maxima:
notwendige Bedingung: F'(u) = 0
F'(u) = 0
Û 4a (3u²-b²) = 0
Û u² = 1/3b²
Û u = ± b/Ö3
um := b/Ö3
hinreichende Bedingung: F'(u)=0 & F"(u) < 0
F"(um) = 24au
= 24ab/Ö3 < 0
also ist um = b/Ö3 die lokale Maximumstelle.
Fm = F(um)
Fm = ist das entsprechende lokale Maximum
Randextremwerte:
lim u-->0 V(u) = V(0) = 0
lim u-->b V(u) = V(b) = 0
also liegt an der Stelle um = b/Ö3 ein absolutes Maximum vor.
Berechnung des Flächeninhalts der Doppelparabel:
Fd := Volumen des Doppelparabel
Fd = 4 bò0 P(x) dx
= 8/3 ab³
Fd/Fm = Ö3
Das maximal eingefügte Rechteck ist genau ... so groß wie die Doppelparabel.
c) Das Flächenstück mit dem eingefügten Rechteck rotiere um die Y-Achse. Aus dem Flächenstück entstehen dabei ein Doppelparaboloid und aus dem Rechteck ein Zylinder. Bestimme von allen möglichen Zylindern dieser Art denjenigen mit dem größten Volumen. Berechne das Volumenverhältnis des Doppelparaboloids zum maximal eingefügten Zylinder.
Lösung:
Aufstellung der Zielfunktion:
1) V = p u² (-2v)
Nebenbedingung:
2) v = a (u² -b²), da A Î P
2) in 1)
V = -2p u²a (u²-b²)
V = -2p u²a (b²-u²), u Î ]0;b[
Ableitungen:
V' = 2pa (2ub²- 4u³)
V" = 2pa (2b² - 12u²)
lokale Maxima:
notwendige Bedingung: V'(u) = 0
V'(u) = 0
Û 2pa (2ub²-4u³) = 0
Û u= 0 & 2b²-4u² = 0
Û u= 0 & u = ± b/Ö2
um := b/Ö2
hinreichende Bedingung: V'(u)=0 & V"(u) < 0
V"(um) = 2pa (2b² - 12u²)
= -8pab² < 0
also ist um = b/Ö2 die lokale Maximumstelle.
Vm = V(um)
Vm = p/2ab^4 ist das entsprechende lokale Maximum
Randextremwerte:
lim u-->0 V(u) = V(0) = 0
lim u-->b V(u) = V(b) = 0
um = b/Ö2 ist der Radius des max. Zylinders
-2 Vm = -2V(um) = ab²
Die Höhe ist die Hälfte der Streckenlänge SSo
Austellung der Umkehrfunktion der Parabel:
P: y = a ( x² - b²)
Û x² = y/a + b²
Û P_:x = Ö(y/a + b²) für x ³ 0
Berechnung des Volumens des Doppelparaboloides:
Vd := Volumen des Doppelparaboloides
P: y = a ( x² - b²)
Û x² = y/a + b²
Û P_:x = (y/a + b²)^(1/2) für x ³ 0
Vd = 2p ysò0 P_(y)² dy
= 2p ysò0 (y/a +b²) dy
= 2p [ y²/2a + b²y ]0,-ab²
Vd = a b^4
Vd/Vm = 2
Der maximal eingefügte Zylinder ist genau halb so groß wie der Doppelparaboloid.
4. Der Blick in die Zukunft ... |
Ich hab für euch schon mal in die Abitur-Vorschläge geschaut und folgendes gesehen:
P.S.: Die Leologische Konstante Leo := 31907037
